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活用线在面上三思路

发布时间:2017-10-12 10:58来源:网络

  在空间线面间相互平行与垂直的逻辑推理中,线若离面、面上无线,犹如鱼儿离开水一般,都是无根无本、孤立静止的闲物;线在面上,线与面形影相伴、相辅相成,看似简单,其实不然,它是线面间平行与垂直关系相互转化的核心纽带;空间几何体只有在它搭建的平台上,同时在它的驱动下,线与线、线与面、面与面的平行与垂直关系才会激情四射、充满生机活力,才会跃跃欲试的互动转化. 因此,如何用活线在面上,是解决这类问题的关键. 本文依推理论证这类问题的结论与条件不同,即从证与用两个方面,如何活用线在面上来归纳整合.

  一、线放面上
  单一的线线垂直是孤立无助的,只有融入到空间几何体的“大家庭”,才能与唇齿相依的线面关系相辅相成,也就是把其中一直线放在一平面上,即可转化为线面关系处理.
  例1 如图1所示,△ABC中,
  ∠ABC=90°,SA⊥平面ABC
  ,又点A在SB与SC上的射影分别是点Q与P,求证:
  PQ⊥SC.
  证明:由
  SA⊥平面ABC�SA⊥BC,又
  AB⊥BC�BC⊥平面SAB,
  又AQ�平面SAB�AQ⊥BC,又AQ⊥SB�AQ⊥平面
  SBC�AQ⊥SC,
  又AP⊥SC�SC⊥平面APQ�PQ⊥SC.
  评注:这证法是线面垂直与线线垂直的一个系列循环转化,看似象做游戏一样,其实有一条十分清晰的思路,就是要证或用线线垂直,把其中一线放在一平面,证另一线是面垂线(也可为面斜线),得线线垂直….
  一般地,欲证线线垂直,把其中一直线放在一平面上,若另一直线是平面垂线,它就垂直于平面内的这条直线;若另一直线是平面斜线,只要证平面内直线垂直于该斜线在平面内射影;
  若用线线垂直条件,也要把其中一直线放在一平面上,当另一直线还垂直于面内与该直线相交的一直线,得线面垂直;当另一直线是平面斜线,得该直线与该斜线在平面内射影垂直.
  二、面上找线
  线面、面面关系诱发于线线关系,也归宿于线线关系,所以,对这两类关系的处理,在平面上找到符合条件的线是关键.
  例2 如图2,在斜三棱柱ABC-A�1B�1C�1中,D为BC的中点,连结AD、DC�1、A�1B、AC�1
  ,求证:A�1B∥平面ADC�1.
  证明:连结
  A�1C,记A�1C∩AC�1=O,连结
  OD,由BD=DC,又
  A�1O=OC�A�1B
  ∥OD,OD�平面ADC�1�A�1B∥平面ADC�1
  评注:在平面上找直线的平行线,通常用平行四边形对边、三角形中位线或截三角形两边对应成比例的平行线段等方法寻找.
  一般地,欲证线面平行,要在平面上找该直线的平行线;证面面平行,要在其中一平面上找与另一平面内两相交直线的平行线;证线面垂直,要在平面上找两条相交直线与该直线都垂直;证面面垂直,要在其中一平面上,找另一平面的垂线.
  若用面面垂直的条件,在其中一平面上找垂直于交线的直线,就得线面垂直.
  三、过线作面
  线线、线面关系的平行,其本质是线线平行,由于面面相交成线,揭开这个面纱要通过平面才能完成.
  例3 如图3所示,已知三个平行平面α、β、γ与两条直线m、l分别相交于A、B、C和点D、E、F. 求证:
  ABBC
  =DEEF
  .
  证明:连结AF,记
  AF∩β=M,由β∥γ、平面ACF∩β=BM、平面
  ACF∩γ=CF�BM∥CF�
  ABBC
  =AMMF
   ①,又β∥α、
  平面FAD∩β=EM、平面FAD∩α=AD�
  EM∥AD�
  AMMF=
  DEEF ②,由①②�
  ABBC
  =DEEF
  .
  评注:由面面平行,构造与平行平面都相交的另一平面是关键,由于条件中有穿过平面的直线,作平面的方法较多,过其中一线与三平行平面相交的三点中的任意一点,作另一交线的平行线,或在两直线上各取一点并连接都可以作出类似的平面.
  一般地,若线面平行,过直线作(或找)与该平面相交的平面,得线线平行;若面面平行,过一线作(或找)与平行平面都相交的第三个平面,得交线平行.
  练习:
  1.如图4,点P是平面ABCD外的一点,已知
  PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°
  ,PA=AB=BC
   ,E是PC的中点.
  求证:(1)CD⊥AE;(2)PD⊥平面
  ABE
  2.如图5,已知P、Q是单位正方体ABCD-
  A�1B�1C�1D�1
   的面A�1B�1BA和ABCD的中心.求证:PQ∥平面BCC�1B�1.
   3. (2010辽宁文数19) 如图6,棱柱
  ABC-A�1B�1C�1的侧面BCC�1B�1是菱形,
  B�1C�1⊥A�1B
  (1)证明:平面AB�1C⊥平面A�1BC�1;
  (2)设D是A�1C�1上的点,且
  A�1B∥平面B�1CD,求
  A�1D∶DC�1的值.
  甘肃省高台县第一中学(734300)


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